Чемпион Европы – 2013 в составе сборной России, волейболист Алексей Спиридонов стал чемпионом Катара в составе «Аль-Араби».
С 2020 года Алексей Спиридонов выступал за клуб «Аль‑Ахли» из Катара, с которым выиграл Кубок страны и стал серебряным призёром чемпионата Катара. «Аль‑Ахли» расторг контракт со Спиридоновым из‑за приглашения другого иностранца и превышения лимита на легионеров. В апреле 2023 года волейболист подписал контракт с клубом «Аль‑Джазира» из Объединённых Арабских Эмиратов. Игрока не удовлетворили условия, и он перешёл в катарский «Аль-Араби».
Спиридонов выступал также за «Урал», казанский «Зенит», «Енисей», «Факел» и «Искру». Он трижды выигрывал Кубок России, по одному разу — национальный чемпионат и Суперкубок. В сезонах-2014/2015 и 2015/2016 доигровщик побеждал в Лиге чемпионов (в составе «Зенита»).